Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x1 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?

b − a = 1ε = 0,0002
n =
3.Moyen
xy00,511,522,53

Approchez ∫03 √x·e−x dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 6
T =
4.Moyen
xy00,250,50,751

Approchez ∫01 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 4
S =
5.Difficile
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,2
y1 =
6.Difficile
00,10,20,30,4−1,4−1,2−1ty(0, −1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = t + y, y(0) = −1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,4).

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,1
y4 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 2
  2. 2. n = 13
  3. 3. T = 0,7172
  4. 4. S = 0,9272
  5. 5. y1 = 0,1974
  6. 6. y4 = −1,4

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