1.Facile
Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x1.
f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x1 =
Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé
2.Facile
La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?
b − a = 2ε = 0,01
n =
3.Moyen
La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode des trapèzes.
h = 5 sn = 6
s = m
4.Moyen
Approchez ∫01,5 √(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 3 bandes. Donnez T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
T =
5.Difficile
Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,3. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,3) − y3|.
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,1
|E| =
6.Difficile
Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(1).
y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,5
y2 =
Corrigé
- 1. x1 = 0,5
- 2. n = 8
- 3. s = 267,5 m
- 4. T = 2,01
- 5. |E| = 0,01129
- 6. y2 = 1,544
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