Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 0,5. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?

b − a = 0,5ε = 0,0001
n =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,050,10,150,211,11,2ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = y − t², y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,1
y2 =
6.Difficile
00,20,40,60,51ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25
y3 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,847
  2. 2. n = 13
  3. 3. n = 283
  4. 4. |E| = 0,0005793
  5. 5. y2 = 1,218
  6. 6. y3 = 1,161

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