Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Moyen
t (s)010203040v (m/s)8891419

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 40 s avec la méthode de Simpson.

h = 10 sn = 4
s = m
5.Difficile
00,20,40,51ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,050,100,050,1ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,904
  2. 2. x2 = 1,063
  3. 3. n = 127
  4. 4. s = 443,3 m
  5. 5. y1 = 1,108
  6. 6. y1 = 0,09967

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