Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

b − a = 3ε = 0,005
n =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x1 =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 sin(x²) dx par la méthode des trapèzes avec n = 2 bandes. Donnez T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
4.Moyen
xy11,752,53,254

Approchez ∫14 1/x dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 4
|E| =
5.Difficile
00,20,40,60,40,5ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,25
y3 =
6.Difficile
00,511,50,51ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 10
  2. 2. x1 = 3,5
  3. 3. T = 0,4631
  4. 4. |E| = 0,0418
  5. 5. y3 = 0,3828
  6. 6. y3 = 1,251

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