Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 0,5. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?

b − a = 0,5ε = 0,0001
n =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x2 =
3.Moyen
xy00,250,50,751

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
4.Moyen
t (s)05101520v (m/s)59864

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 20 s avec la méthode des trapèzes.

h = 5 sn = 4
s = m
5.Difficile
00,20,40,50,60,7ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,050,10,150,20,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. n = 13
  2. 2. x2 = 0,7391
  3. 3. |E| = 0,00894
  4. 4. s = 137,5 m
  5. 5. y1 = 0,6783
  6. 6. y1 = 0,5894

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