Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 4b = 5

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x² − 20 avec l’intervalle de départ [4, 5]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = x² − 20[a, b] = [4, 5]n = 4
c4 =
2.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x1.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1,5
x1 =
3.Moyen
t (s)01020304050v (m/s)71313121719

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 50 s avec la méthode des trapèzes.

h = 10 sn = 5
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
5.Difficile
00,20,400,5ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,510,511,5ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 afin d’estimer y5 ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2
y5 =

Corrigé

  1. 1. c4 = 4,438
  2. 2. x1 = 1,696
  3. 3. s = 680 m
  4. 4. n = 32
  5. 5. y1 = 0,5434
  6. 6. y5 = 1,41

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