Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 3

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 13 avec la valeur de départ x₀ = 3. Trouvez x2.

f(x) = x² − 13f′(x) = 2xx₀ = 3
x2 =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 sin(x²) dx par la méthode des trapèzes avec n = 2 bandes. Donnez T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
4.Moyen
xy00,33330,666711,3331,6672

Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
5.Difficile
00,20,40,611,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = y − t², y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,2
y3 =
6.Difficile
00,510,51ty(0, 0,2)

Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,2 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 2,205
  2. 2. x2 = 3,606
  3. 3. T = 0,4631
  4. 4. T = 1,355
  5. 5. y3 = 1,686
  6. 6. |E| = 0,09599

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