Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = e−x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 1 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ − x − 1f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
3.Moyen
xy00,33330,66671

Approchez ∫01 √x·e−x dx par la méthode des trapèzes avec n = 3 bandes. Donnez T.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 1]n = 3
T =
4.Moyen
xy00,33330,666711,3331,6672

Approchez ∫02 √x·e−x dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
5.Difficile
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = t² + y², y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1
y1 =
6.Difficile
01211,52ty(0, 1)

Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2,5. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2,5) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,5
|E| =

Corrigé

  1. 1. c3 = 0,625
  2. 2. x2 = 1,36
  3. 3. T = 0,3389
  4. 4. S = 0,6378
  5. 5. y1 = 1,111
  6. 6. |E| = 0,01339

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