Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

b − a = 3ε = 0,005
n =
2.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1,5
x1 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Moyen
xy00,250,50,7511,251,5

Approchez ∫01,5 √(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
5.Difficile
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y1 =
6.Difficile
00,51−1−0,50ty(0, −1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = −1 afin d’estimer y2 ≈ y(1).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5
y2 =

Corrigé

  1. 1. n = 10
  2. 2. x1 = 1,914
  3. 3. n = 127
  4. 4. S = 1,976
  5. 5. y1 = 1,095
  6. 6. y2 = 0,0694

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