Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 4 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?

b − a = 2ε = 0,0002
n =
3.Moyen
t (s)01020304050v (m/s)91517202126

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 50 s avec la méthode des trapèzes.

h = 10 sn = 5
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
5.Difficile
00,511,5123ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y3 =
6.Difficile
00,511,50,40,60,81ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,5 pour y′ = y − t², y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,5
y3 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 2,917
  2. 2. n = 14
  3. 3. s = 905 m
  4. 4. n = 71
  5. 5. y3 = 2,904
  6. 6. y3 = 1

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