Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x³ − x − 1 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = x³ − x − 1[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
2.Facile
x22,22,42,62,83y0,84150,89120,9320,96360,98540,9975

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 2,75.

x = 2,75
y =
3.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 1/(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
5.Difficile
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
6.Difficile
00,5111,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y5 ≈ y(1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y5 =

Corrigé

  1. 1. c4 = 1,313
  2. 2. y = 0,9799
  3. 3. S = 1,097
  4. 4. n = 90
  5. 5. y2 = 0,7131
  6. 6. y5 = 1,614

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