Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x123456y1,09861,38631,60941,79181,94592,0794

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer la valeur x où y = 1,5202.

y = 1,5202
x =
2.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1,5
x2 =
3.Moyen
t (s)0102030405060v (m/s)791521202328

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 60 s avec la méthode des trapèzes.

h = 10 sn = 6
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
5.Difficile
00,51−1−0,5ty(0, −1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = −y, y(0) = −1 afin d’estimer y2 ≈ y(1).

y′ = −yy(0) = −1h = 0,5
y2 =
6.Difficile
00,050,10,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. x = 2,6
  2. 2. x2 = 1,557
  3. 3. s = 1055 m
  4. 4. n = 48
  5. 5. y2 = −0,3906
  6. 6. y1 = 0,6028

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