Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 7 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 7f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
2.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = cos x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
3.Moyen
xy00,3750,751,1251,5

Approchez ∫01,5 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
4.Moyen
t (s)0123456v (m/s)771313171817

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 1 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 6 s avec la méthode des trapèzes.

h = 1 sn = 6
s = m
5.Difficile
00,5112ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 afin d’estimer y5 ≈ y(1,25).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,25
y5 =
6.Difficile
00,050,12,82,93ty(0, 3)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 3. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 1,8
  2. 2. c3 = 0,625
  3. 3. S = 1,199
  4. 4. s = 80 m
  5. 5. y5 = 2,378
  6. 6. y1 = 2,81

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