Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x2 =
2.Facile
x11,522,533,5y0,47940,68160,84150,9490,99750,984

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 1,375.

x = 1,375
y =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 x³ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Moyen
t (s)012345v (m/s)7121313119

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 1 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 5 s avec la méthode des trapèzes.

h = 1 sn = 5
s = m
5.Difficile
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,2
y1 =
6.Difficile
00,5111,52ty(0, 1)

Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,2 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,2
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1
  2. 2. y = 0,631
  3. 3. |E| = 1
  4. 4. s = 57 m
  5. 5. y1 = 0,2027
  6. 6. |E| = 0,03915

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