Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x2.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1,5
x2 =
2.Facile
x012345y11,34991,82212,45963,32014,4817

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 0,6.

x = 0,6
y =
3.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 sin x dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 4
|E| =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 x³ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,5111,522,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = y − t², y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(1).

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,5
y2 =
6.Difficile
00,511,5123ty(0, 3)

Résolvez y′ = t − y, y(0) = 3 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 1,5. La solution exacte est y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,5) − y3|.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,5
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,672
  2. 2. y = 1,21
  3. 3. |E| = 0,02963
  4. 4. |E| = 0,0625
  5. 5. y2 = 2,195
  6. 6. |E| = 0,3925

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