Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

b − a = 3ε = 0,005
n =
2.Facile
xya = 1b = 3

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 3 avec l’intervalle de départ [1, 3]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = ln x + x − 3[a, b] = [1, 3]n = 4
c4 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 √(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
5.Difficile
00,10,20,30,50,60,70,8ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,1
y3 =
6.Difficile
00,20,40,600,51ty(0, 0)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,25
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 10
  2. 2. c4 = 2,125
  3. 3. n = 37
  4. 4. S = 1,109
  5. 5. y3 = 0,7452
  6. 6. y3 = 0,9077

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