Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = cos x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 5f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x1 =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 sin x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
5.Difficile
00,20,40,980,991ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,20,40,600,1ty(0, 0)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = t² + y², y(0) = 0 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,25
y3 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 0,625
  2. 2. x1 = 1,5
  3. 3. |E| = 0,008914
  4. 4. n = 27
  5. 5. y1 = 0,9817
  6. 6. y3 = 0,1503

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