Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 4

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 4 avec la valeur de départ x₀ = 4. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 4
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,001
n =
4.Moyen
xy012

Approchez ∫02 x³ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
6.Difficile
00,51123ty(0, 3)

Résolvez y′ = t − y, y(0) = 3 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y4|.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,25
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,567
  2. 2. x2 = 2,926
  3. 3. n = 37
  4. 4. |E| = 1
  5. 5. y2 = 0,6877
  6. 6. |E| = 0,2059

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