Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 1
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 3ε = 0,01
n =
3.Moyen
xy123

Approchez ∫13 1/x dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,20,40,611,21,4ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y3 =
6.Difficile
00,20,400,5ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,417
  2. 2. n = 9
  3. 3. |E| = 0,06805
  4. 4. n = 224
  5. 5. y3 = 1,474
  6. 6. y1 = 0,5434

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