Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 1ε = 0,01
n =
2.Facile
xya = 2b = 3

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x² − 5 avec l’intervalle de départ [2, 3]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = x² − 5[a, b] = [2, 3]n = 3
c3 =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫12 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,511,5123ty(0, 3)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 3 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5
y3 =
6.Difficile
00,050,10,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. n = 7
  2. 2. c3 = 2,125
  3. 3. S = 1,357
  4. 4. n = 130
  5. 5. y3 = 1,105
  6. 6. y1 = 0,5972

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