Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,001 ?

b − a = 2ε = 0,001
n =
2.Facile
xyx₀ = 0,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 0,5. Trouvez x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0,5
x2 =
3.Moyen
t (s)0123456v (m/s)10121319171520

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 1 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 6 s avec la méthode de Simpson.

h = 1 sn = 6
s = m
4.Moyen
t (s)0246810v (m/s)101617172226

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 2 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 10 s avec la méthode des trapèzes.

h = 2 sn = 5
s = m
5.Difficile
00,20,40,622,53ty(0, 3)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = cos t − y, y(0) = 3 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,25
y3 =
6.Difficile
00,20,400,5ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. n = 11
  2. 2. x2 = 0,7391
  3. 3. s = 91,33 m
  4. 4. s = 180 m
  5. 5. y3 = 1,892
  6. 6. y1 = 0,5434

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