1.Facile
La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?
b − a = 1ε = 0,0002
n =
Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé
2.Facile
Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.
f(x) = x³ + 2x − 2f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
3.Moyen
Approchez ∫02 x³ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Moyen
Approchez ∫13 1/x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
5.Difficile
Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = 1,5y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).
y′ = 1,5yy(0) = 0,5h = 0,1
y3 =
6.Difficile
Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y4|.
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,25
|E| =
Corrigé
- 1. n = 13
- 2. x1 = 0,8
- 3. |E| = 1
- 4. |E| = 0,0125
- 5. y3 = 0,783
- 6. |E| = 0,04998
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