Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 0,5. Trouvez x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0,5
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x2 =
3.Moyen
t (s)0510152025v (m/s)61117151317

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 25 s avec la méthode des trapèzes.

h = 5 sn = 5
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
5.Difficile
01212ty(0, 0,5)

Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2,5. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2,5) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,5
|E| =
6.Difficile
00,511,520123ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 afin d’estimer y4 ≈ y(2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5
y4 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 0,7552
  2. 2. x2 = 1,847
  3. 3. s = 337,5 m
  4. 4. n = 22
  5. 5. |E| = 0,03943
  6. 6. y4 = 2,824

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