Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?

b − a = 2ε = 0,0001
n =
3.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 sin(x²) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
5.Difficile
00,511,52−3−2−1ty(0, −1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,5 pour y′ = t + y, y(0) = −1 afin d’estimer y4 ≈ y(2).

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,5
y4 =
6.Difficile
00,20,40,60,80,940,960,981ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = cos t − y, y(0) = 1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,8).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,2
y4 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,7391
  2. 2. n = 15
  3. 3. S = 0,3052
  4. 4. n = 127
  5. 5. y4 = −3
  6. 6. y4 = 0,9499

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