Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,001 ?

b − a = 1ε = 0,001
n =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Moyen
xy00,250,50,751

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
5.Difficile
00,511,5200,51ty(0, 1)

Résolvez y′ = −2ty, y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2. La solution exacte est y = y₀e−t². Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2) − y4|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,5
|E| =
6.Difficile
00,511,5012ty(0, 0)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 10
  2. 2. x1 = 2,4
  3. 3. n = 23
  4. 4. |E| = 0,00894
  5. 5. |E| = 0,01832
  6. 6. y3 = 2,014

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