1.Facile
La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?
b − a = 3ε = 0,0002
n =
Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé
2.Facile
Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x2.
f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1,5
x2 =
3.Moyen
La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
4.Moyen
La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 2 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 12 s avec la méthode de Simpson.
h = 2 sn = 6
s = m
5.Difficile
Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = t − y, y(0) = 1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,4).
y′ = t − yy(0) = 1h = 0,1
y4 =
6.Difficile
Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y4|.
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25
|E| =
Corrigé
- 1. n = 14
- 2. x2 = 1,849
- 3. n = 90
- 4. s = 195,3 m
- 5. y4 = 0,7122
- 6. |E| = 0,01777
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