Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 1b = 4

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 4 avec l’intervalle de départ [1, 4]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = ln x + x − 4[a, b] = [1, 4]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 2,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 7 avec la valeur de départ x₀ = 2,5. Trouvez x2.

f(x) = x² − 7f′(x) = 2xx₀ = 2,5
x2 =
3.Moyen
t (s)05101520v (m/s)8871313

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 20 s avec la méthode de Simpson.

h = 5 sn = 4
s = m
4.Moyen
t (s)024681012v (m/s)871012151519

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 2 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 12 s avec la méthode des trapèzes.

h = 2 sn = 6
s = m
5.Difficile
00,510,40,60,81ty(0, 0,5)

Résolvez y′ = y − t², y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y4|.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,25
|E| =
6.Difficile
00,050,10,50,510,520,53ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 2,875
  2. 2. x2 = 2,646
  3. 3. s = 198,3 m
  4. 4. s = 145 m
  5. 5. |E| = 0,05496
  6. 6. y1 = 0,5267

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