Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
2.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 2 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,20,400,5ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,20,4−2−1,5−1ty(0, −1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1,5y, y(0) = −1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).

y′ = 1,5yy(0) = −1h = 0,25
y2 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 0,7504
  2. 2. c4 = 1,563
  3. 3. n = 283
  4. 4. n = 366
  5. 5. y1 = 0,5434
  6. 6. y2 = −2,089

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