Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0
x2 =
3.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
4.Moyen
xy00,3750,751,1251,5

Approchez ∫01,5 e−x² dx par la méthode des trapèzes avec n = 4 bandes. Donnez T.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 4
T =
5.Difficile
00,20,40,60,51ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = 1,5y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = 1,5yy(0) = 0,5h = 0,2
y3 =
6.Difficile
00,20,422,53ty(0, 3)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 3. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 1,5
  2. 2. x2 = 0,7504
  3. 3. |E| = 0,0005793
  4. 4. T = 0,8525
  5. 5. y3 = 1,217
  6. 6. y1 = 2,195

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