Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = e−x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
2.Facile
x11,522,533,5y0,47940,68160,84150,9490,99750,984

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 3,375.

x = 3,375
y =
3.Moyen
xy00,66671,3332

Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode des trapèzes avec n = 3 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,20,4−1−0,8−0,6ty(0, −1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = −y, y(0) = −1 afin d’estimer y5 ≈ y(0,5).

y′ = −yy(0) = −1h = 0,1
y5 =
6.Difficile
00,050,10,150,211,11,2ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 0,625
  2. 2. y = 0,9874
  3. 3. T = 1,35
  4. 4. n = 84
  5. 5. y5 = −0,5905
  6. 6. y1 = 1,179

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