Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 2 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?

b − a = 4ε = 0,0002
n =
3.Moyen
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Approchez ∫01 1/(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
5.Difficile
00,10,20,30,411,21,4ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,4).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,1
y4 =
6.Difficile
00,10,20,30,400,01ty(0, 0)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = t² + y², y(0) = 0 afin d’estimer y4 ≈ y(0,4).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,1
y4 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. n = 15
  3. 3. S = 0,8357
  4. 4. n = 100
  5. 5. y4 = 1,474
  6. 6. y4 = 0,014

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