Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 3 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x1.

f(x) = x² − 3f′(x) = 2xx₀ = 2
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 2
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,001
n =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,510,511,5ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 afin d’estimer y5 ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2
y5 =
6.Difficile
00,20,40,646ty(0, 3)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = y − t², y(0) = 3 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,25
y3 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 1,75
  2. 2. x2 = 1,557
  3. 3. n = 37
  4. 4. n = 702
  5. 5. y5 = 1,41
  6. 6. y3 = 5,777

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