Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0,5. Trouvez x1.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0,5
x1 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 0,5. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 0,5ε = 0,01
n =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Moyen
t (s)051015202530v (m/s)02612121816

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode de Simpson.

h = 5 sn = 6
s = m
5.Difficile
00,10,20,322,5ty(0, 2)

Résolvez y′ = y − t², y(0) = 2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,3. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,1
|E| =
6.Difficile
00,050,11,91,952ty(0, 2)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 2. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 0,5663
  2. 2. n = 6
  3. 3. n = 23
  4. 4. s = 300 m
  5. 5. |E| = 0,0331
  6. 6. y1 = 1,905

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