Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x³ + 2x − 10 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = x³ + 2x − 10[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
2.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x1.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1,5
x1 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫12 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0001
n =
4.Moyen
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Approchez ∫01 1/(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
5.Difficile
00,050,10,150,211,11,21,3ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y1 =
6.Difficile
00,10,20,30,411,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,4).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y2 =

Corrigé

  1. 1. c4 = 1,813
  2. 2. x1 = 1,557
  3. 3. n = 41
  4. 4. S = 0,8357
  5. 5. y1 = 1,253
  6. 6. y2 = 1,669

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