Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x1 =
2.Facile
x00,20,40,60,81y11,06181,12751,19721,27121,3499

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer la valeur x où y = 1,2948.

y = 1,2948
x =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
4.Moyen
xy00,33330,666711,3331,6672

Approchez ∫02 √(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
5.Difficile
00,511,50,51ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y3 =
6.Difficile
00,050,10,150,20,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 1,857
  2. 2. x = 0,86
  3. 3. n = 82
  4. 4. S = 3,241
  5. 5. y3 = 1,251
  6. 6. y1 = 0,5894

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