Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x1.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 2
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 4

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 4 avec la valeur de départ x₀ = 4. Trouvez x1.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 4
x1 =
3.Moyen
xy00,3750,751,1251,5

Approchez ∫01,5 √(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,20,40,6234ty(0, 2)

Résolvez y′ = t + y, y(0) = 2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,2 jusqu’à t = 0,6. La solution exacte est y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,6) − y3|.

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,2
|E| =
6.Difficile
00,10,20,30,40,40,450,5ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(0,4).

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y2 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 2,205
  2. 2. x1 = 2,891
  3. 3. S = 1,976
  4. 4. |E| = 0,03565
  5. 5. |E| = 0,2824
  6. 6. y2 = 0,4086

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