Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 2 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c₃ de l’étape 3.

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫₀¹ eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode de Simpson.

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y₄ ≈ y(0,8).

Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1,25. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,25) − y₅|.