Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = e−x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 2ε = 0,01
n =
3.Moyen
xy00,250,50,751

Approchez ∫01 sin(x²) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 4
S =
4.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
5.Difficile
00,511,52−10−50ty(0, −1)

Résolvez y′ = y − t², y(0) = −1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2) − y4|.

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,5
|E| =
6.Difficile
00,20,40,611,21,4ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y3 =

Corrigé

  1. 1. c4 = 0,5625
  2. 2. n = 8
  3. 3. S = 0,3099
  4. 4. S = 1,36
  5. 5. |E| = 4,948
  6. 6. y3 = 1,418

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