Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = e−x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
3.Moyen
xy00,3750,751,1251,5

Approchez ∫01,5 1/(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 4 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
T =
4.Moyen
xy012

Approchez ∫02 √x·e−x dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
5.Difficile
00,511234ty(0, 1)

Résolvez y′ = t + y, y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,2 jusqu’à t = 1. La solution exacte est y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1) − y5|.

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,2
|E| =
6.Difficile
00,050,11,91,952ty(0, 2)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 2. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 0,625
  2. 2. x2 = 0,5663
  3. 3. T = 1,005
  4. 4. S = 0,5543
  5. 5. |E| = 0,4599
  6. 6. y1 = 1,905

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