Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x00,511,522,5y11,16181,34991,56831,82212,117

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 1,15.

x = 1,15
y =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?

b − a = 2ε = 0,0001
n =
3.Moyen
xy00,66671,3332

Approchez ∫02 √x·e−x dx par la méthode des trapèzes avec n = 3 bandes. Donnez T.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,050,10,50,510,520,53ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1
y1 =
6.Difficile
00,510,50,6ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(1).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,5
y2 =

Corrigé

  1. 1. y = 1,415
  2. 2. n = 15
  3. 3. T = 0,5462
  4. 4. n = 366
  5. 5. y1 = 0,5267
  6. 6. y2 = 0,6553

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