Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x1 =
2.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x² − 2 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = x² − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 eˣ dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 e−x² dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
5.Difficile
00,20,4−1−0,5ty(0, −1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = −1. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,20,40,81ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = t − y, y(0) = 1 afin d’estimer y5 ≈ y(0,5).

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,1
y5 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 3,5
  2. 2. c3 = 1,375
  3. 3. |E| = 0,03167
  4. 4. S = 0,8818
  5. 5. y1 = −0,2318
  6. 6. y5 = 0,681

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