Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

b − a = 3ε = 0,005
n =
2.Facile
x22,22,42,62,83y1,38631,43511,48161,52611,56861,6094

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 2,9.

x = 2,9
y =
3.Moyen
t (s)0102030405060v (m/s)39914151923

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 60 s avec la méthode de Simpson.

h = 10 sn = 6
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
5.Difficile
00,5111,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,5
y2 =
6.Difficile
00,10,20,30,50,60,70,8ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,1
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 10
  2. 2. y = 1,589
  3. 3. s = 806,7 m
  4. 4. n = 32
  5. 5. y2 = 1,544
  6. 6. y3 = 0,7452

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