Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 1b = 3

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 3 avec l’intervalle de départ [1, 3]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = ln x + x − 3[a, b] = [1, 3]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 5f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x2 =
3.Moyen
xy01,53

Approchez ∫03 sin x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2
|E| =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 1/(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
5.Difficile
00,51−2−1,5−1ty(0, −1)

Résolvez y′ = 0,5y, y(0) = −1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1,25. La solution exacte est y = y₀e0,5t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,25) − y5|.

y′ = 0,5yy(0) = −1h = 0,25
|E| =
6.Difficile
00,050,10,150,20,20,250,3ty(0, 0,2)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,1
y2 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 2,25
  2. 2. x2 = 1,343
  3. 3. |E| = 0,07556
  4. 4. S = 0,8426
  5. 5. |E| = 0,06621
  6. 6. y2 = 0,284

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