Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?

b − a = 2ε = 0,0002
n =
2.Facile
xyx₀ = 3

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 5 avec la valeur de départ x₀ = 3. Trouvez x2.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 3
x2 =
3.Moyen
xy00,751,5

Approchez ∫01,5 √(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
4.Moyen
xy00,40,81,21,62

Approchez ∫02 sin(x²) dx par la méthode des trapèzes avec n = 5 bandes. Donnez T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 5
T =
5.Difficile
00,510,511,5ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 afin d’estimer y4 ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25
y4 =
6.Difficile
00,511,511,52ty(0, 2)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 2 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 14
  2. 2. x2 = 2,238
  3. 3. S = 1,965
  4. 4. T = 0,7676
  5. 5. y4 = 1,405
  6. 6. y3 = 0,861

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