Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,001 ?

b − a = 4ε = 0,001
n =
2.Facile
xyx₀ = 4

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 4 avec la valeur de départ x₀ = 4. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 4
x2 =
3.Moyen
xy00,250,50,7511,251,5

Approchez ∫01,5 1/(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
5.Difficile
00,050,10,150,211,11,2ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y2 =
6.Difficile
00,511,52468ty(0, 2)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,5 pour y′ = y − t², y(0) = 2 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,5
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 12
  2. 2. x2 = 2,926
  3. 3. S = 1,009
  4. 4. n = 16
  5. 5. y2 = 1,179
  6. 6. y3 = 6,063

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