Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 0
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,05 ?

b − a = 2ε = 0,05
n =
3.Moyen
xy00,250,50,751

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
4.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 √x·e−x dx par la méthode des trapèzes avec n = 4 bandes. Donnez T.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 4
T =
5.Difficile
00,10,20,30,40,450,5ty(0, 0,5)

Résolvez y′ = −2ty, y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,4. La solution exacte est y = y₀e−t². Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,4) − y4|.

y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,1
|E| =
6.Difficile
00,050,10,50,520,54ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,114
  2. 2. n = 6
  3. 3. |E| = 0,00894
  4. 4. T = 0,5829
  5. 5. |E| = 0,0161
  6. 6. y1 = 0,5474

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