Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

b − a = 4ε = 0,005
n =
2.Facile
x012345y11,34991,82212,45963,32014,4817

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 2,5.

x = 2,5
y =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 sin x dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,050,1−1−0,9−0,8ty(0, −1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = −1. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1
y1 =
6.Difficile
00,10,20,3−1−0,95−0,9ty(0, −1)

Résolvez y′ = −2ty, y(0) = −1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,3. La solution exacte est y = y₀e−t². Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,1
|E| =

Corrigé

  1. 1. n = 10
  2. 2. y = 2,141
  3. 3. n = 100
  4. 4. |E| = 0,009617
  5. 5. y1 = −0,8098
  6. 6. |E| = 0,02687

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