Fiche d’exercices de Optimisation avec corrigé

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 18 cm × 18 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton rectangulaire de 30 cm × 48 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez la découpe x qui donne le plus grand volume.

Une boîte de conserve cylindrique fermée (avec un couvercle et un fond) doit contenir 1000 cm³. La quantité de métal utilisée est proportionnelle à l’aire totale. Trouvez la plus petite aire possible A.

Une boîte de conserve cylindrique fermée (avec un couvercle et un fond) doit contenir 500 cm³. La quantité de métal utilisée est proportionnelle à l’aire totale. Trouvez le rayon r qui utilise le moins de matière.

Un théâtre vend 475 billets par représentation à 15 € l’unité. Une étude de marché montre que chaque hausse de 1 € du prix du billet fait vendre 25 billets de moins (et chaque baisse de 1 €, 25 de plus). Trouvez le prix du billet p qui maximise la recette.

Une entreprise vend q unités par semaine. Le prix auquel elle peut les vendre est p = 120 − 0,25q euros par unité, et le coût vaut C(q) = 700 + 60q euros. Trouvez le prix p qui maximise le bénéfice.