Fiche d’exercices de Optimisation avec corrigé

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 36 cm × 36 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 48 cm × 48 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez la découpe x qui donne le plus grand volume.

Un terrain rectangulaire de 400 m² est clôturé sur ses quatre côtés. Le côté le long de la rue, de longueur x, coûte 40 € par mètre ; les trois autres côtés coûtent 5 € par mètre. Trouvez le coût total minimal C.

Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 13500 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez le côté du fond x.

Une petite entreprise vend son produit au prix de marché fixe de 40 € par unité. Produire q unités coûte C(q) = 100 + 26q + 0,1q² euros. Trouvez le bénéfice maximal P.

Une entreprise vend q unités par semaine. Le prix auquel elle peut les vendre est p = 200 − 0,2q euros par unité, et le coût vaut C(q) = 9600 + 40q euros. Trouvez la production hebdomadaire q qui maximise le bénéfice.